2.2解析函数

一、复变函数的导数

• 定义：设是函数的定义域，，若极限存在，则称在可导，此极限值成为在点的导数，记为
或：
改写为：
其中：，当时

• 可导一定连续，连续不一定可导

二、解析函数

• 定义：如果函数在的某邻域内每一点都可导，则称在点解析。若函数在内的每一点都解析，则称为内的解析函数

• 若解析函数在某点解析，则函数在该点可导；反之不成立。不解析的点称为奇点。

• 如果是开集，在内每一点都解析等价于每一点都可导。整个复平面上的解析函数称为整函数。

• 求导四则运算法则：
• 定理：设函数、在区域内解析，则其加减乘除在区域内解析，且

• 求导链式法则：
• 定理：设函数在内解析，在内解析，且，则复合函数在内解析，且
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例1：证明在复平面上处处可导，且



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例2：证明函数在上解析。



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例3：讨论的解析性。

• 加减的共轭等于共轭的加减：

2.3解析函数的充分必要条件

• 函数可导的充分必要条件
• 定理：设是函数的定义域，是内一点，则在处可导的充分必要条件是：，在处可微，且满足柯西-黎曼方程（C-R方程）：
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证明：

• 解析函数的充分必要条件：
• 定理：函数在区域内解析的充分必要条件：、在区域内解析，且满足C-R条件

对比：

• 可导的充分必要条件是可微且满足C-R；

• 解析的充分必要条件是解析且满足C-R；

• 推论：若，则，

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例2：讨论的解析性。

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例5：讨论函数的解析性。

2.4解析函数与调和函数的关系

• 定义：如果实函数在区域内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程：，则称为内的调和函数

• 注：拉普拉斯方程也称调和方程

• 定理：若是区域内的解析函数，则，在内均为调和函数

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• 注：由上述定理知，解析函数的实部和虚部均为调和函数，且满足柯西-黎曼方程，称它们为一对共轭调和函数。当区域是单连通区域时，调和函数的共轭调和函数一定存在，对一般区域结论不成立。

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例7：已知调和函数，求其共轭调和函数，并求以 为实部且满足的解析函数。

2.5初等解析函数

一、指数函数

• 定义：设，称函数为指数函数
• 易证，（即其实部和虚部）在全复平面上可微，且满足C-R条件，所以在复平面上解析（整函数），且

• 指数函数的性质：
• ，特别
• ，。当为实数时，；
• 以（ 整数）为周期，即
• ，，，

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例：求的实部和虚部。

二、对数函数

• 定义：对数函数是指数函数的反函数，即满足方程的反函数称为对数函数，记为， \

• 对数函数是多值函数，有无穷多个分支，时的分支称为对数函数的主支；记，为对数函数主值 \

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例1：求

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例2：求

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例3：求

对数函数的基本性质：

对数函数的解析性：

• 在 \ 上处处连续，在负实轴上不连续（），因此在 \ 上连续

• 定理：对数主支在区域 \ 上解析，且

对数函数求导公式推导

三、幂函数

定义：

• 设，为复数，称函数为幂函数

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例1：

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例2：

• 注：设为正整数，当时，幂函数为单值函数，即次方幂，；当时，幂函数为次方根

幂函数求导公式

四、三角函数和双曲函数

• 定义：对任意复数，定义三角函数和双曲函数
• 正弦函数：
• 余弦函数：
• 双曲正弦：
• 双曲余弦：

• 在实数域内成立的恒等式在复数域内也成立，如：

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例：解方程：