2.2解析函数

一、复变函数的导数

• 定义：设$$D$$是函数$$w = f(z)$$的定义域，$$z_0 \in D$$，若极限$$\lim\limits_{z \rightarrow z_0} \dfrac{f(z) - f(z_0)}{ z - z_0}$$存在，则称$$f(z)$$在$$z_0$$可导，此极限值成为$$f(z)$$在$$z_0$$点的导数，记为
$$f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} \dfrac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}$$
或：
$$f'(z_0) = \lim_{\Delta z \rightarrow 0} \dfrac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \rightarrow 0} \dfrac{\Delta w}{\Delta z}$$
改写为：
$$f(z_0 + \Delta z) - f(z_0) = f'(z_0)\Delta z + \alpha( \Delta z)\Delta z$$
其中：$$\alpha (\Delta z) \rightarrow 0$$，当$$\Delta z \rightarrow 0$$时

• 可导一定连续，连续不一定可导

二、解析函数

• 定义：如果函数$$f(z)$$在$$z_0$$的某邻域内每一点都可导，则称$$f(z)$$在$$z_0$$点解析。若函数$$f(z)$$在$$D$$内的每一点都解析，则称$$f(z)$$为$$D$$内的解析函数

• 若解析函数在某点解析，则函数在该点可导；反之不成立。不解析的点称为奇点。

• 如果$$D$$是开集，$$f(z)$$在$$D$$内每一点都解析等价于每一点都可导。整个复平面上的解析函数称为整函数。

• 求导四则运算法则：
• 定理：设函数$$f(z)$$、$$g(z)$$在区域$$D$$内解析，则其加减乘除在区域$$D$$内解析，且
• $$[af(z) + bg(z)]' = af'(z) + bg'(z)$$
• $$[f(z)g(z)]' = f'(z)g(z) + f(z)g'(z)$$
• $$[\dfrac{f(z)}{g(z)}]' = \dfrac{f'(z)g(z) - f(z)g'(z)}{g^2(z)} \quad (g(z) \neq 0)$$

• 求导链式法则：
• 定理：设函数$$\zeta = g(z)$$在$$D$$内解析，$$w = f(\zeta)$$在$$G$$内解析，且$$g(D) \subset G$$，则复合函数$$w = f(g(z))$$在$$D$$内解析，且
$$\dfrac{\text{d}}{\text{dz}}f[g(z) ] = f'[g(z)]g'(z)$$
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例1：证明$$f(z) = z^n (n \geq 1)$$在复平面$$C$$上处处可导，且$$f'(z) =nz^{n - 1} (n \geq 1)$$



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例2：证明函数$$f(z) = \dfrac{1}{(z - 2)(z - 3)}$$在$$C - \{2, 3\}$$上解析。



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例3：讨论$$f(z)= \bar z$$的解析性。

• 加减的共轭等于共轭的加减： $$\overline{a+b} \pm \overline{c+d} = \overline{(a + b) \pm (c + d)}$$

2.3解析函数的充分必要条件

• 函数可导的充分必要条件
• 定理：设$$D$$是函数$$f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$$的定义域，$$z = x + iy$$是$$D$$内一点，则$$f(z)$$在$$z$$处可导的充分必要条件是：$$u(x, y)$$，$$v(x, y)$$在$$(x, y)$$处可微，且满足柯西-黎曼方程（C-R方程）：
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y} \\ \dfrac{\partial v}{\partial x} = - \dfrac{\partial u}{\partial y}\end{cases} \quad \text{此时} \; f'(z) = \dfrac{\partial u}{\partial x} + i\dfrac{\partial v}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y} - i\dfrac{\partial u}{\partial y}$$
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证明：

• 解析函数的充分必要条件：
• 定理：函数$$f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$$在区域$$D$$内解析的充分必要条件：$$u(x, y)$$、$$v(x, y)$$在区域$$D$$内解析，且满足C-R条件

对比：

• 可导的充分必要条件是可微且满足C-R；

• 解析的充分必要条件是解析且满足C-R；

• 推论：若$$\forall z \in D,f'(z) \equiv 0$$，则$$\forall z \in D$$，$$f(z) \equiv \text{const}$$

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例2：讨论$$f(z) = \bar z$$的解析性。

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例5：讨论函数$$w = |z|^2$$的解析性。

2.4解析函数与调和函数的关系

• 定义：如果实函数$$U(x, y)$$在区域$$D$$内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程：$$\Delta U = \dfrac{\partial^2U}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2U}{\partial y^2} = 0, \forall (x, y) \in D$$，则称$$U(x, y)$$为$$D$$内的调和函数

• 注：拉普拉斯方程也称调和方程

• 定理：若$$f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$$是区域$$D$$内的解析函数，则$$u(x, y)$$，$$v(x, y)$$在$$D$$内均为调和函数

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• 注：由上述定理知，解析函数的实部和虚部均为调和函数，且满足柯西-黎曼方程，称它们为一对共轭调和函数。当区域是单连通区域时，调和函数的共轭调和函数一定存在，对一般区域结论不成立。

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例7：已知调和函数$$u = y^3 - 3 x^2y$$，求其共轭调和函数$$v$$，并求以 $$u$$ 为实部且满足$$f(0) = i$$的解析函数。

2.5初等解析函数

一、指数函数

• 定义：设$$z = x + iy$$，称函数$$e^z = e^x(\cos y + i \sin y)$$为指数函数
• 易证$$u = e^x \cos y$$，$$v = e^x \sin y$$（即其实部和虚部）在全复平面上可微，且满足C-R条件，所以$$e^z$$在复平面上解析（整函数），且$$(e^z)' = e^z$$

• 指数函数的性质：
• $$e^{z + w} = e^z \cdot e^w$$，特别$$(e^z)^n = e^{nz}$$
• $$e^z \neq 0$$，$$\forall z \in C$$。当$$z = x$$为实数时，$$e^x > 1(x > 0)$$；$$e^x < 1(x < 0)$$
• $$e^z$$以$$T = 2n \pi i$$（$$n \neq 0$$ 整数）为周期，即$$e^{z + T} = e^z$$
• $$e^{\frac{\pi}{2}i} = i$$，$$e^{\pi i} = -1$$，$$e^{\frac{3 \pi }{2}i} = -i$$，$$e^{2\pi i} = 1$$
• $$e^z = 1 \iff z = 2n\pi i$$

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例：求$$e^{e^z}$$的实部和虚部。

二、对数函数

• 定义：对数函数是指数函数的反函数，即满足方程$$e^w = z(z \neq 0)$$的反函数$$w = f(z)$$称为对数函数，记为$$w = Lnz$$，$$z \in C$$ \ $$\{0\}$$

• 对数函数$$Lnz$$是多值函数，有无穷多个分支，$$k = 0$$时的分支称为对数函数的主支；记$$\ln z = \ln |z| + i \arg z$$，$$\ln z$$为对数函数主值 $$C$$ \ $$\{0\} \xleftrightarrow{\text{一对一}} \{u + iv|u \in R, -\pi < v \leq \pi\}$$

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例1：求$$Ln(1 + i)$$

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例2：求$$Ln(-1)$$

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例3：求$$ln[(-1 - i)(1 - i)]$$

对数函数的基本性质：

• $$Ln(z_1z_2) = Lnz_1 + Ln z_2$$

• $$Ln(z_1 / z_2) = Lnz_1 - Lnz_2(z_2 \neq 0)$$

对数函数的解析性：

• $$\ln |z|$$在$$C$$ \ $$\{0\}$$上处处连续，$$\arg z$$在负实轴上不连续（$$\lim\limits_{y \rightarrow 0^+} \arg z = \pi, \lim\limits_{y \rightarrow 0^-} \arg z = -\pi$$），因此$$\ln z = \ln |z| + i \arg z$$在$$C$$ \ $$\{x + i y | y = 0, x \leq 0\}$$上连续

• 定理：对数主支$$\ln z = \ln |z| + i \arg z$$在区域$$D = C$$ \ $$\{x + iy | y =0, x \leq 0\}$$上解析，且 $$(\ln z)' = \dfrac{1}{z}$$

对数函数求导公式推导

三、幂函数

定义：

• 设$$z(z \neq 0)$$，$$\mu$$为复数，称函数$$z ^ \mu \xlongequal{\Delta} e^{\mu Ln z}$$为幂函数

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例1：

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例2：

• 注：设$$n(n \geq 1)$$为正整数，当$$\mu = n$$时，幂函数为单值函数，即$$n$$次方幂，$$z^n = z \cdot z ... \cdot z$$；当$$\mu = \frac{1}{n}$$时，幂函数为$$n$$次方根

幂函数求导公式

• $$(z^\mu)' = \mu z^{\mu - 1}$$

四、三角函数和双曲函数

• 定义：对任意复数$$z$$，定义三角函数和双曲函数
• 正弦函数：$$\sin z = \dfrac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$$
• 余弦函数：$$\cos z = \dfrac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$$
• 双曲正弦：$$\sh z= \dfrac{e^z - e^{-z}}{2}$$
• 双曲余弦：$$\ch z = \dfrac{e^z + e^{-z}}{2}$$

• 在实数域内成立的恒等式在复数域内也成立，如：
• $$\sin (2z) = 2 \sin z \cos z$$
• $$\sin ^2 z + \cos ^ 2 z = 1$$
• $$\sin (iz) = i \sh z$$
• $$\cos (iz) = \ch z$$
• $$\ch (iz) = \cos z$$
• $$\sh (iz) = i \sin z$$

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例：解方程：$$\sin iz = i$$