6.1 保角映射的概念

1. 导数的几何意义

• 设函数 在区域 内解析， ，考察 的几何意义。下面分别考虑 和 的几何意义。

• 说明：经过映射后，曲线间夹角的大小、方向不变（保角性）

2. 保角映射的概念及几个一般性定理

定理6.1.1

• 设 是区域 到区域 的双射，且在 内每一点有保角性质，则称 是 到 的保角映射（共形映射）。若 在 内任一点的某邻域是保角的，则称 在 内是局部保角映射（ ）

• 保角映射的逆映射及复合映射仍然是保角映射

定理6.1.4（黎曼映射定理）

• 设 ， 是不同于复平面 的单连通区域，任取 ，则存在唯一从 到 的保角映射 使得

定理6.1.5（边界对应原理）

• 设简单曲线 围成的区域 ，则 到 的保角映射 可以延拓为 到 的连续双射，且将 的正向映射为 的正向

6.2 若干初等函数所确定的映射

1. 整线性映射

2. 倒数映射

定义6.2.1

• 如图，称两点 和 关于圆周曲线 对称。 共线，且

3. 幂函数映射

4. 指数函数与对数函数映射

6.3 分式线性映射

1. 分式线性映射

2. 三对点的对应唯一确定一个分式线性映射

定理6.3.1

• 设 在 平面上， 在 平面上，则存在唯一的分式线性映射，将 依次映为

3. 两个重要的分式线性映射

(1). 将上半平面映射为单位圆内部的分式线性映射

(2). 将单位圆内部映为单位圆内部的分式线性映射

• 两个圆的切点在无穷远处，则映射过去的两条直线是平行的！