5.1 孤立奇点的分类及性质

一、孤立奇点的分类

• 定义：如果 是 的孤立奇点，则在某去心邻域 内， 可展开成罗朗级数 ，
• 若主部为零，即 ，称 为 的可去奇点；
• 若主部有有限项： ， ，称 为 的（ 级）极点；特别的， 时称为单极点；
• 若主部有无穷多项，称 为 的本性奇点。

二、孤立奇点的性质

定理5.1.1

• 设 是 的孤立奇点，则下列命题等价（即 是可去奇点的三个充要条件）：
1. 是可去奇点
2. 在 的邻域内有界
3. 存在（ ）

定理5.1.2

• 是 的 级极点的充分必要条件是： ，其中 在 解析，



（类比 级零点定义）

• 推论： 是 的 级极点 是 的 级零点

定理5.1.3

• 是 的极点

定理5.1.4

• 是 的本性奇点 不存在，且

常用如下判别法：

• 设 ， 分别是 ， 的 ， 级零点，则
• 当 时， 是 的可去奇点
• 当 时， 是 的 级极点



判断方法：首先看分母为 的点，有 和 ；当 时，把其他部分看成一个整体， 同理



首先通分，得：
容易看出 是 分子和分母的二级零点，因此 是可去零点； 是分母的一级零点，不是分子的零点，所以它是一级极点

5.2 留数定理

一、留数的定义及留数定理

• 定义：设 是 的孤立奇点， 在 及 （逆时针）上解析，则称如下数值为 在 处的留数：
• 注：由罗朗定理， 为罗朗展开式中 项的系数 ，且根据形变原理，与 无关

• 定理（留数定理）：设函数 在区域 内除有限个奇点 外都解析， 是 内把奇点都包围的闭路，逆时针，则

二、留数的计算

定理5.2.2

• 函数 在可去奇点 处的留数为零（ ）

• 本性奇点，一般用罗朗展开求 。下面讨论极点处留数的计算

定理5.2.3

• 设 是 的 级极点，则
• 特：当 时，

• 推论 ：设 ， 在 点解析， ，则

• 推论 ：设 ， 在 解析， ， ， ， 为 的单极点，则



• 更一般的，有如下的推论 ：

• 推论 ：设 是 的 级零点， 的 级零点，则 是 的单极点，且

定理5.2.4

• 设 、 在 解析， ， ， ， 是 的二级极点，则

三、留数计算习题

注：留数定理不适用的特殊情况

5.3 留数定理的应用

• 本节应用留数定理，把几类实积分转化为复积分的计算

1. 型积分

定理5.3.1

• 设 是 ， 的有理函数，且在 上连续，则
其中

2. 型积分

定理5.3.2

• 设 在复平面 上除有限个奇点外都解析，奇点不在实轴上。如果 ， 使当 时，有下式成立：
则
或

3. 型积分

定理5.3.3

• 设 在复平面 上除有限个奇点外均解析，奇点不在实轴上。如果 ，使当 时，有下式成立：
则
注：