4.1 复数项级数与幂级数一、复数列与复数项级数复数列极限的定义复数项级数收敛级数的性质二、复函数序列与复函数项级数三、幂级数的敛散性幂级数和函数的解析性4.2 泰勒(Taylor)级数一、泰勒定理二、一些初等函数的泰勒展开式4.3 解析函数零点的孤立性及唯一性定理4.4 罗朗级数1.双边级数的敛散性2.罗朗定理历年题
4.1 复数项级数与幂级数
一、复数列与复数项级数
复数列极限的定义
- 设是一复数列，是一复数，如果，，当时，有成立，则称收敛于，记作
- 定理：复数列收敛于的充分必要条件是且
- 由数列极限的定义及下列不等式可证
复数项级数
- 通项：
- 若部分和数列，则称级数收敛于，记作。若不收敛，则称级数发散
- 若收敛，则称绝对收敛； 若发散，收敛，则称条件收敛
收敛级数的性质
- 定理：若收敛，则（级数收敛的必要条件） 证明同微积分中。
- 定理：收敛的充分必要条件：、都收敛
- 定理：绝对收敛的级数一定收敛，反之不成立
二、复函数序列与复函数项级数
- 其中：：和函数，：收敛域
- 其中：：部分和序列
三、幂级数的敛散性
特：
- 定理（Abel定理）：
- 若在处收敛，那么当时，幂级数绝对收敛
- 若幂级数在处发散，那么当时，幂级数发散
- 收敛半径： 当时，幂级数绝对收敛；当时，幂级数发散；当时，不确定
收敛圆：
当时，级数仅在处收敛；
当时，级数在整个复平面收敛
- 定理（收敛半径的计算）： 或
幂级数和函数的解析性
- 定理：设幂级数的收敛半径为，且，则
- 在内解析
- 上式两边可任意阶逐项求导
- 上式两边可逐项积分，即 其中。特别：起点原点，终点，则
4.2 泰勒(Taylor)级数
一、泰勒定理
- 定理（泰勒定理）：设在圆内解析，则在圆内可展开成幂级数（泰勒级数）
且展开式唯一。
特别：当时，
（麦克劳林级数）
- 推论：在区域内解析在内任一点处可展开成幂级数
- 处泰勒级数的收敛半径： 其中为的边界
二、一些初等函数的泰勒展开式
- 例6. 在复平面上解析，
- 例7：
类似：
- 例8：求函数的麦克劳林级数
间接展开法：已有公式，代数运算，变量替换，逐项求导，逐项积分等。
- 例：由例8，
- 例9：将在处展开成泰勒级数
- 思考题9：用待定系数法将展开成麦克劳林级数
4.3 解析函数零点的孤立性及唯一性定理
- 定义1：若，称为的零点
- 定义2：若，且，称为的孤立零点 （孤立零点就是，它自己是零点，附近的点都不是零点）
- 定义3：若解析函数可表示为，称为的级零点。（当时，称为单零点）
- 定理4.3.1：设在区域内解析，两两不同，，，则
- 推论1（逆否命题）：不恒为零的解析函数的零点必是孤立的
- 注：实函数不具有此性质。例如下列函数处处可导
都是其零点。非孤立零点
- 推论2：（解析函数的唯一性定理） 设、在区域内解析，两两不同，，，则
- 注：由推论2知，两解析函数在区域内一部分上（如实数区间）相等，则它们恒等
- 如：两边都是解析函数，且等式在实轴上成立，由推论2，它在整个复平面成立。
- 定理4.3.2 为解析函数的级零点的充要条件是，
例10：讨论在原点的性质（是几级零点）
4.4 罗朗级数
问题：若在内解析，是孤立零点，那么在此去心邻域内是否可展开成幂级数？
1.双边级数的敛散性
- 双边级数：
令，则负幂部分
设其收敛圆为，即
再设正幂级数的收敛圆为
综上，双边级数收敛的充要条件是
且收敛域为圆环
和函数在圆环内解析，可逐项求导，逐项积分
2.罗朗定理
反之，在圆环内解析的函数是否可以展开成双边级数？
- 定理（罗朗定理）：设在圆环内解析， 则在此环内可展开成罗朗级数：
其中：
，逆时针，且展开式唯一
- 注1：如果在圆解析，则
罗朗定理泰勒定理
- 注2： 用积分公式难以求出，常用麦克劳林公式间接展开（代数运算，变量替换，逐项求导，逐项积分等）
- 注3：不同环域，展开式一般不一样。去心邻域为特殊环。
例11：将函数在下列环域中罗朗展开：
（1）
（2）
（3）
思考：在中如何展开？
例13：在的去心邻域将展开成罗朗级数
历年题
- 求函数在圆环展开的罗朗级数
- 求在处展开的泰勒级数
- 求函数在圆环展开的罗朗级数
- 求在处展开的泰勒级数
