3.1复变函数的积分及其性质一、复积分的定义及计算二、复积分的性质3.2柯西积分定理二、原函数定理3.3 柯西积分公式解析函数的积分平均值定理3.4 解析函数的无穷可微性定理（高阶导数的柯西积分公式）定理（柯西不等式）定理（刘维尔定理）定理（代数学基本定理）
3.1复变函数的积分及其性质
一、复积分的定义及计算
- 定义：设是复平面上一有向曲线，在上有定义。分割曲线，分点为，任取，作和， 若令，都收敛到同一极限，则称函数沿曲线可积，此极限值称为沿着曲线的积分，记为：
- 注：当曲线是区间而时，复积分为实函数的定积分。
例：设是连接复数点、的任意曲线，用定义计算积分
- 复积分与曲线积分的关系：
- 定理：设函数在曲线上连续，则在上可积，且
- 复积分的计算方法（类比第二类曲线积分）：
- 设曲线的参数方程：满足，则
证明：由复积分与曲线积分的关系，以及曲线积分的计算方法可得。
例2：验证
其中是以为中心，为半径的正向圆周曲线。
二、复积分的性质
- 线性性：
- 可加性：设曲线，其中的终点为的起点，则
- 计是有向曲线的反向曲线，则：
- 估计：设为曲线的长度，，则：
例4：计算积分，其中是连接与的曲线，路径见图
（1）直线段（2）折线段与
那么什么时候与路径无关呢？或者说，与路径无关的条件是什么呢？（如果与路径无关，可以用微积分中学的性质和公式）
3.2柯西积分定理
- 定理：（柯西积分定理）：设函数在封闭曲线上及其所包围的单连通区域内解析，则
- 推论1：如果在单连通区域内解析，则积分与路径无关，只与的起点终点有关
- 推论2（多连通区域的柯西积分定理）：设函数在多连通区域及其正向边界上解析，则 证明与单连通区域一样。
- 如下图，设的正向边界：，则
- 特别，当时，（形变公式）
例5：计算，为光滑闭曲线，不在上，为整数
- 把曲线的大致轮廓画出来；
- 分析被积函数的解析性：是否是整函数？如果不是整函数，在哪些点可积，哪些点不可积？
- 看奇点是在积分曲线的里面还是外面？如果在外面，那么可以直接用柯西积分定理；如果在里面，用形变公式把曲线转化成规则曲线。
二、原函数定理
- 若在单连通区域内解析，积分与路径无关。记（积分上限函数），其中为积分曲线的起点，为终点，（相当于微积分中的变上限函数）
- 定理：若在单连通区域内解析，则在内也解析，且
- 推论1：设也是的原函数（），则：（为常数）
- 推论2（类比微积分中牛顿-莱布尼兹公式）：若在单连通区域内解析，是的一个原函数，则，其中曲线，、是的起点和终点。
例7：计算，其中是连接与的直线段
例8：，其中积分曲线是：连接到的直线段，再从由下半单位圆到
3.3 柯西积分公式
- 定理（柯西积分公式）：设函数在有界闭区域上解析，正向，则
- 求积分时，逆用：
- 注：
- 为单连通或多连通区域，定理都成立；
- 当时，
解析函数的积分平均值定理
- 定理：设函数在上解析，则
3.4 解析函数的无穷可微性
定理（高阶导数的柯西积分公式）
- 设在有界闭区域上解析，正向，则在内的任意阶导数存在，且
- 主要应用：从右到左，计算特殊形式的复积分
- 注：实函数不具有此性质；而对于复合函数，一阶可导可以推出解析，解析又可以推出无穷可导
定理（柯西不等式）
- 设在上解析，则
定理（刘维尔定理）
- 有界整函数必为常数
- 注：实函数不具有此性质，如在上有界，且任意阶可导，但不是常数
- 证明题中一般需要构造辅助函数
定理（代数学基本定理）
- 设是复常数，，则至少，使得
